p_cx1 <- 1/2
p_cx2 <- 1/2
p_vermelha_cx1 <- 4/8
p_vermelha_cx2 <- 2/8
p_vermelha <- p_cx1 * p_vermelha_cx1 + p_cx2 * p_vermelha_cx2
(p_cx1 * p_vermelha_cx1)/p_vermelha[1] 0.666666721 Teorema de Bayes
Status 🟨🟨🟨
21.1 Fórmula
\[ P(B_{i} | A) = \frac{P(B_{i} \cap A)}{P(A)} \]
Exemplo:
Sendo tirada 1 bola vermelha, qual a probabilidade de esta bola ter sido retirada da caixa 1?
| Caixa | Vermelhas | Azuis |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 4 |
| 2 | 2 | 6 |
As probabilidades “básicas” são:
\[ P(B_{1}) = P(Caixa 1) = 1/2 \] \[ P(B_{2}) = P(Caixa 2) = 1/2 \] \[ P(A|B_{1}) = P(Vermelha | Caixa 1) = 4/8 \] \[ P(A|B_{2}) = P(Vermelha | Caixa 2) = 2/8 \]
A probabilidade de que uma bola vermelha tenha sido retirada da caixa 1 é dada por:
\[ P(Caixa 1 | Vermelha) = \frac{P(B_{1}) . P(A|B_{1})}{P(A)} \]
O numerador da equação é:
\[ P(B_{1}) . P(A|B_{1}) = P(Caixa_{1}) . P(Vermelha | Caixa_{1}) \]
\[ P(Caixa_{1}) . P(Vermelha | Caixa_{1}) = \frac{1}{2} . \frac{4}{8} \]
O denominador da equação é:
\[ P(A) = P(Vermelha) = P(Caixa 2) . P(Vermelha | Caixa 1) + P(Caixa 2) . P(Vermelha | Caixa 2) \]
\[ P(Vermelha) = \frac{1}{2} . \frac{4}{8} + \frac{1}{2} . \frac{2}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \]
\[ P(Caixa 1 | Vermelha) = \frac{\frac{1}{2} . \frac{4}{8}}{\frac{1}{2} . \frac{4}{8} + \frac{1}{2} . \frac{2}{8}} \] Portanto, a probabilidade é de:
\[ P(Caixa 1 | Vermelha) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{1}{4}.\frac{8}{3} = \frac{8}{12} = 0.66666... \]
Abaixo exemplo do mesmo cálculo executado em R.
Luiz Paulo Fávero (2017)
Última atualização: 11/10/2024 - 21:47:30